توزيع بوسون

أنشأ الصفحة ب'== توزيع بوسون == هو توزيع احتمالي منفصل يستخدم عند حدوث عدد من الحوادث ضمن وقت محدد وغير متعلق...'

صفحة جديدة

== توزيع بوسون ==

هو توزيع احتمالي منفصل يستخدم عند حدوث عدد من الحوادث ضمن وقت محدد وغير متعلقة بزمن حدوث آخر حدث. وسميت بوسون نسبة إلى العالم Poisson الذي اكتشفها.ونقول أن المتغير العشوائي X يتبع توزيع بوسون بمعلمه λ إذا كانت دالته الاحتمالية هي:

::<math> f(x)=P(X=x)=\frac{e^{-\lambda}{\lambda^x}}{x!}; x=0,1,...</math>





حيث أن <math>0<\lambda<\infty</math> هي معلمة التوزيع الوحيدة بمقدار ثابت, ونعرف المتغير العشوائي <math>X\backsim{Poi(\lambda)}</math>



ولكي نتحقق أن (f(x دالة احتمالية



:<math>\sum^{\infty}_{x=0} \frac{e^{-\lambda}{\lambda^x}}{x!}=e^{-\lambda}\sum^{\infty}_{x=0} \frac{\lambda^x}{x!}=e^{-\lambda}e^{\lambda}=1</math>



وتوزيع بوسون له تطبيقات كثيرة في حياتنا:



- يصف الظواهر النادرة, مثل: عدد الزلازل السنوية, عدد الحرائق, عدد الحوادث الأسبوعية.



- يصف كثير من الظواهر التي تحدث في الزمن أو الفراغ, مثل: عدد الجزئيات, عدد مكالمات الهاتف التي تحدث خلال زمن معين, عدد السلع التالفة التي ينتجها مصنع ما في فترة معينة.



== المنوال ==



::<math> \frac{f(x+1)}{f(x)}=\frac{e^{-\lambda}{\lambda^(x+1)}}{(x+1)!} \frac{x!}{e^{-\lambda}{\lambda^x}}=\frac{\lambda}{X+1}</math>





إذن تبين لنا أن (f(x دالة متزايدة إذا كانت <math>X<\lambda-1</math> وأنها متناقصة إذا كانت <math>X>\lambda-1</math> أما إذا كانت <math>X=\lambda-1</math> فذلك يعني <math>f(\lambda)=f(\lambda-1)</math> وعلى ذلك إذا كانت <math>\lambda-1</math> عدد صحيح فيكون هناك منوالان عند <math>X=\lambda, X=\lambda-1 </math> أما إذا كانت <math>\lambda-1</math> عدد غير صحيح فيكون المنوال هو العدد الصحيح الذي يأتي فورا بعد <math>\lambda-1</math>.





== دالة التوزيع التراكمية==

::<math> F(x)=P(X\leq x)=\sum^{\infty}_{S=0} f(S)</math>



== متوسط التوزيع ==



::<math> \mu=E(x)=\sum^{\infty}_{x=0} x\frac{e^{-\lambda}{\lambda^x}}{x!}=\lambda \sum^{\infty}_{x=1} \frac{e^{-\lambda}{\lambda^{(x-1)}}}{(x-1)!} </math>



وحيث أن

::<math> \mu=E(x)= \sum^{\infty}_{x=1} \frac{e^{-\lambda}{\lambda^{(x-1)}}}{(x-1)!}=\sum^{\infty}_{Y=0} x\frac{e^{-\lambda}{\lambda^Y}}{Y!}=1 </math>



إذن <math>\lambda = \mu</math>







== تباين التوزيع ==

لكي نحصل على تباين بوسون نوجد أولا القيمة المتوقعة



::<math>E[X(X-1)]=\sum^{\infty}_{x=0} x\frac{(x-1)e^{-\lambda}{\lambda^x}}{x!}=\lambda^2 \sum^{\infty}_{x=2} \frac{e^{-\lambda}{\lambda^{(x-2)}}}{(x-2)!}=\lambda^2 </math>



أي أن



::<math> E(X^2)-E(X)=\lambda^2</math>



:::<math>\therefore E(X^2)=\lambda^2+\lambda</math>



إذن

::<math> \sigma^2=E(X^2)-\mu^2=\lambda^2+\lambda-\lambda^2=\lambda</math>





ونستنتج من ذلك أن: التباين = المتوسط = <math>\lambda</math>



== دالة توزيع العزوم==

::<math>M_{X}(t)=E(e^{xt})\sum^{\infty}_{x=0}e^{xt}\frac{e^{-\lambda}{\lambda^x}}{x!}</math>

::::<math>=e^{-\lambda}\sum^{\infty}_{x=0}\frac{(\lambda e^{t})^x}{x!}</math>

:::<math>=e^{-\lambda} e^{\lambda e^t}=e^{\lambda (e^t-1)}</math>



حيث أن

::<math> M'(t)=\lambda e^t \centerdot e^{\lambda (e^t-1)}</math>



::<math> M'(t)=\lambda^2 e^{2t} \centerdot e^{\lambda (e^t-1)}+\lambda e^t \centerdot e^{\lambda (e^t-1)}</math>



::<math>\mu=\mu'_1=M'(0)=\lambda</math>



::<math>\mu'_2=M''(0)=\lambda^2 +\lambda</math>



::<math>\sigma^2=\mu'_2-\mu^2=\lambda</math>







مثال:

إذا كان متوسط عدد الحوادث الأسبوعية على إحدى الطرق في مدينة ما هو 3 حوادث. فما احتمال أن يقع في أحد الأسابيع حادثتين ؟



الحل:



متوسط عدد الحوادث <math>3=\lambda=</math>



نفرض أن X عدد الحوادث الأسبوعية إذن <math> X\backsim{Poi(3)}</math>



::<math> f(x)=P(X=x)=\frac{e^{-3}{3^x}}{x!}; x=0,1,...</math>



:::<math> f(2)=P(X=2)=\frac{e^{-3}{3^2}}{2!}=0.2240</math>







== المراجع ==



{{مراجع|30em}}

* الأستاذ الدكتور جلال مصطفى الصياد ، نظرية الاحتمالات

* Prasanna Sahoo, PROBABILITYAND MATHEMATICAL STATISTICS

{{شريط بوابات|رياضيات}}





[[تصنيف:دوال]]

sourceويكيبيديا - أحدث التغييرات [ar] http://ar.wikipedia.org/w/index.php?title=%D8%AA%D9%88%D8%B2%D9%8A%D8%B9_%D8%A8%D9%88%D8%B3%D9%88%D9%86&diff=14629274&oldid=0